IDENTITAS PERKALIAN DAN PENJUMLAHAN / SELISIH SINUS DAN KOSINUS

1. Identitas Perkalian Sinus dan Kosinus

rumus-rumus jumlah dan selisih dua sudut, yaitu:

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

a. perkalian cosinus dan cosinus

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β .... (1)

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β .... (2)

Dengan menjumlahkan (1) dan (2), akan

memperoleh:

cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β .... (1)

b. perkalian sinus dan sinus

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β .... (2)

Dengan menjumlahkan (1) dan (2), akan memperoleh

cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β

c. perkalian sinus dan cosinus

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β .... (5)

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β .... (6)

Dengan menjumlahkan (5) dan (6), diperoleh :

sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β

contoh soal

1. tentukan nilai dari cos 120° sin 60°

jawab :

2 cos α sin β = sin (α + β) - sin (α - β)

cos 120° sin 60° = 1/2 (sin (120 + 60) - sin (120 - 60))

cos 120° sin 60° = 1/2 (sin 180° - sin 60° = 1/2 (0 - 1/2 √3

= - 1/4 √3

2. tentukan nilai dari 2 sin 15° cos 15°

jawab :

2 cos α sin β = sin (α + β) - sin (α - β)

2 sin 15° cos 15° = sin (15 + 15) + sin (15 - 15)

2 sin 15° cos 15° = sin 30° + sin 0

= 1/2

3. tentukan nilai dari –2 sin 15° sin 75°

jawab :

= cos (15 + 75)° – cos (15 – 7 5)°

= cos 90° – cos (–60)°

= cos 90° – cos 60°

= 0 - 1/2)

= - 1/2

2. Identitas Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Cosinus

dapat ditulis dalam rumus berikut.

cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β .... (9)

cos (α + β) – cos (α – β) = –2 sin α sin β .... (10)

sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β .... (11)

sin (α + β) – sin (α – β) = 2 cos α sin β .... (12)

a. Rumus Sin Jumlah

Misalkan:

$\alpha = A + B$

$\beta = A - B$

Sehingga,

$\alpha + \beta = 2A \rightarrow A = \frac{1}{2}\left( \alpha + \beta \right)$

dan

$\alpha - \beta = 2B \rightarrow B = \frac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right)$

Substitusi nilai A, B, α , dan β pada rumus perkalian sinus dan cosinus, sehingga,

$sin \; \alpha + sin \; \beta \; = 2 \cdot sin \; \frac{1}{2}\left( \alpha + \beta \right) \cdot cos \; \frac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right)$

b. Rumus Sin Selisih

Misalkan:

$\alpha = A + B$

$\beta = A - B$

Sehingga,

$\alpha + \beta = 2A \rightarrow A = \frac{1}{2}\left( \alpha + \beta \right)$

dan

$\alpha - \beta = 2B \rightarrow B = \frac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right)$

Substitusi nilai A, B, α , dan β pada rumus perkalian sinus dan cosinus, sehingga,

$sin \; \alpha - sin \; \beta = 2 \cdot cos \; \frac{1}{2}\left( \alpha + \beta \right) \cdot sin \; \frac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right)$

c. Rumus Cos Jumlah

Misalkan:

$\alpha = A + B$

$\beta = A - B$

Sehingga,

$\alpha + \beta = 2A \rightarrow A = \frac{1}{2}\left( \alpha + \beta \right)$

dan

$\alpha - \beta = 2B \rightarrow B = \frac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right)$

Substitusi nilai A, B, α dan β pada rumus perkalian sinus dan cosinus, sehingga,

$cos \; \alpha + cos \beta = 2 \cdot cos \; \frac{1}{2}\left( \alpha + \beta \right) \cdot cos \; \frac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right)$

d. Rumus Cos Selisih

Misalkan:

$\alpha = A + B$

$\beta = A - B$

Sehingga,

$\alpha + \beta = 2A \rightarrow A = \frac{1}{2}\left( \alpha + \beta \right)$

dan

$\alpha - \beta = 2B \rightarrow B = \frac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right)$

Substitusi nilai A, B, α, dan β pada rumus perkalian sinus dan cosinus, sehingga,

$cos \; \alpha - cos \; \beta = -2 \cdot sin \; \frac{1}{2}\left( \alpha + \beta \right) \cdot sin \; \frac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right)$

contoh soal

1. Diketahui besar sudut α 105° dan β 15°. Nilai sin 105° + sin 15° adalah …

jawab :

= $sin \; 105^{o} \; + \; sin \; 15^{o} = 2 \; sin \frac{1}{2} \left( 105^{o} + 15^{o} \right) \; cos \frac{1}{2} \left(105^{o} - 15^{o} \right)$

= $sin \; 105^{o} \; + \; sin \; 15^{o} = 2 \; sin \frac{1}{2} \left( 120^{o} \right) \; cos \frac{1}{2} \left(90^{o} \right)$

= $sin \; 105^{o} \; + \; sin \; 15^{o} = 2 \; sin \; 60^{o} \; cos \; 45^{o}$

= $sin \; 105^{o} \; + \; sin \; 15^{o} = 2 \cdot \frac{1}{2} \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{2}$

= $sin \; 105^{o} \; + \; sin \; 15^{o} = \frac{1}{2} \sqrt{6} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

2. Nilai sin 105° - sin 15° adalah …

jawab :

= $sin \; 105^{o} \; - \; sin \; 15^{o} = 2 \; cos \frac{1}{2} \left( 105^{o} + 15^{o} \right) \; sin \frac{1}{2} \left(105^{o} - 15^{o} \right)$

= $sin \; 105^{o} \; - \; sin \; 15^{o} = 2 \; cos \frac{1}{2} \left( 120^{o} \right) \; sin \frac{1}{2} \left(90^{o} \right)$

= $sin \; 105^{o} \; - \; sin \; 15^{o} = 2 \; cos \; 60^{o} \; sin \; 45^{o}$

= $sin \; 105^{o} \; - \; sin \; 15^{o} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{2}$

= $sin \; 105^{o} \; - \; sin \; 15^{o} = \frac{1}{2} \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. Nilai cos 105° + cos 15° adalah …

jawab :

= $cos \; 105^{o} \; + \; cos \; 15^{o} = 2 \; cos \frac{1}{2} \left( 105^{o} + 15^{o} \right) \; cos \frac{1}{2} \left(105^{o} - 15^{o} \right)$

= $cos \; 105^{o} \; + \; cos \; 15^{o} = 2 \; cos \frac{1}{2} \left( 120^{o} \right) \; cos \frac{1}{2} \left(90^{o} \right)$

= $cos \; 105^{o} \; + \; cos \; 15^{o} = 2 \; cos \; 60^{o} \; cos \; 45^{o}$

= $cos \; 105^{o} \; + \; cos \; 15^{o} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{2}$

= $cos \; 105^{o} \; + \; cos \; 15^{o} = \frac{1}{2} \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

4. Nilai cos 105° - cos 15° adalah …

jawab:

= $cos \; 105^{o} \; - \; cos \; 15^{o} = -2 \; sin \frac{1}{2} \left( 105^{o} + 15^{o} \right) \; sin \frac{1}{2} \left(105^{o} - 15^{o} \right)$

= $cos \; 105^{o} \; - \; cos \; 15^{o} = -2 \; sin \frac{1}{2} \left( 120^{o} \right) \; sin \frac{1}{2} \left(90^{o} \right)$

= $cos \; 105^{o} \; - \; cos \; 15^{o} = -2 \; sin \; 60^{o} \; sin \; 45^{o}$

= $cos \; 105^{o} \; - \; cos \; 15^{o} = -2 \cdot \frac{1}{2} \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{2}$

= $cos \; 105^{o} \; - \; cos \; 15^{o} = - \frac{1}{2} \sqrt{6} = -\frac{\sqrt{6}}{2}$

widya!

Selasa, 10 Agustus 2021